Fait intéressant, et comme une remarque latérale, la structure de l`espace de phase de gravité avec des limites utilisées dans la description des modèles physiques concrets semble fournir une justification supplémentaire pour l`utilisation des variables holonomie-flux (voir section IV E dans [165] pour une plus discussion détaillée de ce fait fascinant) il est important de souligner que les relations de commutation des champs de base — reflétant la structure algébrique simple de spin (4) — utilisées ici sont celles induites par l`analyse canonique de la théorie BF présentée précédemment. La présence de contraintes modifie généralement les relations de commutation canonique en particulier en présence de contraintes de seconde classe. Pour une étude de la question dans le contexte des modèles EPRL et FK, voir [13]. Dans [11] il est souligné que la présence de contraintes secondaires dans l`analyse canonique de l`action de Plebanski devrait se traduire par des contraintes additionnelles dans les holonomies des modèles de spin-Foam examinés ici (voir aussi [12]). Du point de vue de la formulation GFT, et en utilisant l`outil de la transformée de Fourier non commutative [53], cette question a été explorée dans [54, 55] une vue possible est que les contraintes de simplicité sont ici imposées pour tous les temps et donc les contraintes secondaires doit être imposée automatiquement. Toutefois, on s`attend à ce que, à partir de l`expérience acquise dans des modèles de base indépendants de l`arrière-plan (rappelons la discussion de l`article 14), il y ait des restes des symétries de jauge agissant non trivialement sur l`histoire de la mousse de spin en faisant plus que simplement modification de l`incorporation dans la structure de régulation discrète Δ comme décrit ci-dessus. Après tout, en gravitation, la contrainte hamiltonienne génère des transformations de jauge qui cachent en elles-mêmes la dynamique non triviale de la théorie. Ceci est illustré précisément dans le scénario le plus simple de la gravité 3D, où il est bien connu que les divergences de bulles sont directement liées au volume infini des orbites de jauge générés par la contrainte de courbure [186]. Remarquez que ces mousses de spin liées à la symétrie de jauge ne diffèrent pas seulement par leur incorporation (voir la section 14). Il ya une belle représentation graphique de la fonction de partition de la théorie BF qui sera très utile pour certains calculs. D`une part, en utilisant cette notation graphique on peut facilement prouver l`indépendance discrétisation des amplitudes BF.

D`autre part, cette notation graphique simplifiera la présentation des nouveaux modèles spin-Foam de gravité quantique qui seront examinés dans les sections suivantes. Cette notation utile a été introduite par Oeckl [286, 291] et utilisée dans [206] pour donner une preuve générale de l`indépendance discrétisation de la fonction de partition BF et des invariants Turaev-Viro pour leur définition sur les décompositions cellulaires générales. Remarque: dans le cas particulier G = SU (2) et d = 3, la théorie BF est (riemannienne) la relativité générale, où le champ ({rm{B}}_a ^ i ) est donné par les trames co-tetrad (E_A ^ i ) de la relativité générale dans le formalisme de premier ordre. Cet exemple simple sera étudié plus en détail dans la section 14.